Resoldre una equació exponencial per reducció a igual base

Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.

Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:

$a^{0} = 1$ per a qualsevol $a$ .
Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir:

$2^{a} = 2^{b} \Leftrightarrow a = b$

Per a qualsevol $a \neq 0$ i $a \neq 1$ tenim que:

$a^{x} = b \Rightarrow x = \log_{a} b$

Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.

Quan en ambdós costats de l'equació exponencial a resoldre es tenen potències de la mateixa base. En aquest cas es procedeix reduint ambdós costats de l'equació a la mateixa base i modificant com li correspon als exponents fins a arribar a una igualtat de bases, fet que permet igualar els exponents.

Exemple

$2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$

A la part esquerra de la igualtat traiem factor comú de $2^{x}$ , i la part dreta la deixem igual de moment. Així doncs,

$2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28 és el mateix que 2 \cdot 2^{x} + 2^{x} + \frac{2^{x}}{2} = 28 \Rightarrow 2^{x} (2 + 1 + \frac{1}{2}) = 28$

Ara realitzem les operacions i aïllem el $2^{x}$ :

$2^{x} (2 + 1 + \frac{1}{2}) = 28 \Rightarrow 2^{x} \cdot \frac{7}{2} = 28 \Rightarrow 2^{x} = \frac{28 \cdot 2}{7} = 8 = 2^{3}$

Ja tenim la mateixa base en els dos costats de la igualtat, de manera que podem igualar els exponents i així:

$2^{x} = 2^{3} \Rightarrow x = 3$

que és la solució que buscàvem.

Exemple

$4^{x} = 8^{2 x - 3} \Rightarrow 2^{2 x} = 2^{3 (2 x - 3)} \Rightarrow 2 x = 3 (2 x - 3) \Rightarrow 4 x = 9 \to x = \frac{9}{4}$

Exemple

Per construir una equació d'aquesta manera amb solució es pot fer amb el procés invers.

Escollim una base, per exemple $3$ . Ens inventem una equació de primer grau:

$5 (x + \frac{4}{7}) = 21$

i l'escrivim com a exponent d'aquesta base:

$3^{5 (x + \frac{4}{7})} = 3^{2} 1$

Ara podem intentar escriure el mateix de diferent manera perquè s'hagin de fer uns quants càlculs abans d'arribar a la mateixa base, per exemple una possibilitat seria:

$3^{5 (x + \frac{4}{7})} = 3^{5 x} \cdot 3^{\frac{5 \cdot 4}{7}} = 243^{x} \sqrt[7]{3^{20}} 3^{21} = 3^{17 + 4} = 3^{5 \cdot 3 + 2} \cdot 3^{4} = 9 \cdot (3^{5})^{4} \cdot \frac{3^{8}}{3^{4}}$

que en igualar-los ens donarà la següent equació:

$243^{x} \cdot \sqrt[7]{3^{20}} = 9 \cdot (3^{5})^{3} \cdot \frac{3^{8}}{3^{5}}$

Hi ha moltes combinacions possibles per equacions amb la mateixa solució.