Diagrames en arbre

Els diagrames en arbre són especialment útils per resoldre problemes amb experiments compostos, és a dir, aquells on realitzem més d'un experiment aleatori. Alguns exemples d'experiments compostos són: tirar dues monedes a l'aire, i mirar si surten dues cares, comptar si hi ha dues dones d'entre tres fills, treure dues boles d'una urna, i mirar si hi ha una vermella i una blava.

Suposem el següent problema:

  1. Tirem tres vegades una moneda a l'aire. Volem saber la probabilitat del succés $$A =$$"treure dues cares".

  2. Suposem ara que la moneda està descompensada, i $$P(C)=\dfrac{6}{10}, P(+)=\dfrac{4}{10}$$. Quina és $$P (A)$$ ara?

  3. Per resoldre el primer problema, podem aplicar la regla de Laplace, ja que la probabilitat que surti cara i surti creu és la mateixa en cada llançament de la moneda, $$1/2$$.

El nostre espai mostral és $$\Omega=\{CCC,CC+,C+C,C++,+CC,+C+,++C,+++\}$$.

Casos favorables a $$A$$: $$CCC, CC+, C+C, +CC$$. Per tant, $$P(A)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$.

Representem els nostres resultats en un arbre. Partint de l'esquerra, en cada tirada dividim l'arbre segons si ha sortit cara $$(C)$$ o creu $$(+)$$, posant sobre de cada branca la probabilitat que succeeixi.

En aquest cas, surt un arbre bastant senzill.

imagen

Cada branca de l'arbre, des del principi fins al final, és un resultat de l'espai mostral: "primer surt $$C$$, després $$+$$, i després $$C$$" correspon al succés elemental "$$C + C$$".

Per explicar la probabilitat de cada branca, hem de multiplicar les probabilitats de totes les branques que hem seguit per arribar fins al final de l'arbre (ja que és la probabilitat de la intersecció de tres esdeveniments independents). Per exemple, la probabilitat de $$C+C$$ és $$\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$$.

Per resoldre el problema, hem de sumar les probabilitats de tots els casos favorables. En el nostre cas, cada branca, és a dir, cada succés elemental, té probabilitat $$$\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$$$ i hi ha quatre casos favorables: $$$CCC, CC+, C+C, +CC$$$

Per tant, de nou trobem que $$$P(A)=P(CCC)+P(CC+)+P(C+C)+P(+CC)=$$$ $$$=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$$

Una probabilitat del $$50\%$$, el mateix resultat que havíem trobat abans. En aquest cas, el diagrama d'arbre no ens ha dit res que no sabéssim ja amb el teorema de Laplace, però vegem què passa en l'apartat següent.

  1. Ara la moneda està descompensada, pel que no podem aplicar directament la regla de Laplace. En aquest cas veurem que utilitzar un diagrama d'arbre és especialment útil.

Vegem dibuixat el nostre experiment en aquest cas:

imagen

Els casos favorables a $$A$$, són, com abans, $$CCC, CC+, C+C, +CC$$.

$$$P(CCC)=P(C)\cdot P(C) \cdot P(C) = \dfrac{6}{10}\dfrac{6}{10}\dfrac{6}{10}=\dfrac{216}{1000}$$$

$$$P(CC+)=P(C)\cdot P(C) \cdot P(+) = \dfrac{6}{10}\dfrac{6}{10}\dfrac{4}{10}=\dfrac{144}{1000}$$$

$$$P(C+C)=P(C)\cdot P(+) \cdot P(C) = \dfrac{6}{10}\dfrac{4}{10}\dfrac{6}{10}=\dfrac{144}{1000}$$$

$$$P(+CC)=P(+)\cdot P(C) \cdot P(C) = \dfrac{4}{10}\dfrac{6}{10}\dfrac{6}{10}=\dfrac{144}{1000}$$$

Finalment, $$$P(A) = P(CCC) + P(CC+) + P(C+C) + P(+CC)=$$$ $$$=\dfrac{216}{1000}+\dfrac{144}{1000}+\dfrac{144}{1000}+\dfrac{144}{1000}=\dfrac{648}{1000}=0,648$$$

És a dir, $$A$$ té una probabilitat del $$64'8\%.$$