Divisió de fraccions

Quocient de nombres racionals

El quocient entre el nombre enter $-6$ i el nombre enter $2$ és el nombre enter $-3$,ja que $-6=2\cdot (-3)$.

Aquest exercici de multiplicar nombres enters es pot escriure en forma de divisió com: $$\begin{array}{ccc}(-6)& :2& =-3\\ \\ \nearrow & \uparrow & \nwarrow \\ \\ \text{dividend}& \text{ divisor }& \text{quocient}\end{array}$$

De la mateixa manera, el nombre racional ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ es pot expressar com el producte entre el nombre racional ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ i un altre. Quin és aquest altre racional?

Podem comprovar que aquest altre racional és ${\displaystyle \frac{1}{5}}$: $${\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{3\cdot 1}{4\cdot 5}}$$. I llavors direm que el quocient de la divisió de ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ entre ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ és igual a ${\displaystyle \frac{1}{5}}$. De la mateixa manera que es fa amb els nombres enters, l'exercici de multiplicar ${\displaystyle \frac{3}{20}=\frac{3}{4}\cdot }$ es pot escriure en forma de divisió ${\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?}$.

Càlcul del quocient entre dos nombres racionals

1. L'exercici: $${\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?}$$ s'escriu com $${\displaystyle ?\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{20}}$$.

2. Multipliquem dos termes de la igualtat per l'invers del divisor ${\displaystyle (?\cdot \frac{3}{4})\cdot \frac{4}{3}=(\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3})}$

3. Tenint en compte les propietats del producte de fraccions, obtenim $$?\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}.$$ I com que ${\displaystyle \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1}$, resulta que: $${\displaystyle ?\cdot 1=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3\cdot 4}{20\cdot 3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}}$$ Per tant: $${\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{5}}$$

És a dir, per trobar el quocient entre dos nombres racionals ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ (dividend) i ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ (divisor), i el divisor diferent de zero, cal multiplicar el dividend per l'invers del divisor: $${\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{d}{c}}$$

De la mateixa manera que els nombres enters, quan tenim una expressió amb sumes, restes, multiplicacions i divisions entre fraccions hem operar primer els parèntesis, posteriorment les multiplicacions i les divisions i finalment les sumes i restes.

Quocient entre un nombre racional i un enter

Per dividir un número enter $a$ per un número racional ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ hem d'expresar el número enter $a$ de la forma ${\displaystyle \frac{a}{1}}$ i procedir de la mateixa manera que en el cas anterior: $${\displaystyle a:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}\cdot \frac{n}{m}}$$

I, de la mateixa manera, per a dividir un nombre racional ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ entre un número enter $a$, procedirem així: $${\displaystyle \frac{m}{n}:a=\frac{m}{n}:\frac{a}{1}=\frac{n}{m}\cdot \frac{1}{a}}$$