División de fracciones

División de dos números racionales

El cociente entre el número entero $$-6$$ y el número entero $$2$$ es el número entero $$-3$$, ya que: $$-6=2\cdot(-3)$$.

Este ejercicio de multiplicar números enteros se puede escribir en forma de división como: $$$\begin{matrix}(-6) & :2 & =-3 \\\\ \nearrow & \uparrow &\nwarrow \\\\ \mbox{dividendo}&\mbox{ divisor }& \mbox{cociente} \end{matrix}$$$

Del mismo modo, el número racional $$\dfrac{3}{20}$$ se puede expresar como el producto entre el número racional $$\dfrac{3}{4}$$ y otro. Cuál es este otro racional?

Podemos comprobar que este otro racional es $$\dfrac{1}{5}$$: $$$\dfrac{3}{20}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5}$$$. Y entonces diremos que el cociente de la división de $$\dfrac{3}{20}$$ entre $$\dfrac{3}{4}$$ es igual a $$\dfrac{1}{5}$$. De la misma forma que se hace con los números enteros, el ejercicio de multiplicar $$\displaystyle \frac{3}{20}=\frac{3}{4}\cdot$$ se puede escribir en forma de división: $$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?$$.

Calcular el cociente entre dos números racionales

  1. El ejercicio: $$$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?$$$ se escribe como: $$$\displaystyle ?\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{20}$$$

  2. Multiplicamos ambos términos de la igualdad por el inverso del divisor: $$\displaystyle \Big(?\cdot \frac{3}{4}\Big)\cdot \frac{4}{3}=\Big(\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}\Big)$$

  3. Teniendo en cuenta las propiedades del producto de fracciones, obtenemos: $$$?\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{3}{20}\cdot\frac{4}{3}.$$$ Y como que $$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1$$, nos resulta que: $$$\displaystyle ?\cdot 1=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3\cdot4}{20\cdot 3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$$$ Por lo tanto: $$$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{5}$$$

Es decir, para encontrar el cociente entre dos números racionales $$\dfrac{a}{b}$$ (dividendo) y $$\dfrac{c}{d}$$ (divisor), siendo el divisor distinto de cero, hay que multiplicar el dividendo por el inverso del divisor: $$$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$$$

Para calcular el cociente de $$-\dfrac{4}{5}$$ entre $$-\dfrac{3}{2}$$: $$$-\dfrac{4}{5}:\Big(-\dfrac{3}{2}\Big)$$$ Multiplicamos el dividendo $$-\dfrac{4}{5}$$ por el inverso del divisor $$-\dfrac{3}{2}$$, que es $$-\dfrac{2}{3}$$: $$$\displaystyle -\frac{4}{5}:\Big(-\frac{3}{2}\Big)=-\frac{4}{5}\cdot \Big(-\frac{2}{3}\Big)=\frac{-4}{5}\cdot\frac{-2}{3}=\frac{8}{15}$$$

Del mismo modo que los números enteros, cuando tenemos una expresión con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones entre fracciones debemos operar primero los paréntesis, posteriormente las multiplicaciones y las divisiones y finalmente las sumas y restas.

División entre un número racional y un entero

Para dividir un número entero $$a$$ por un número racional $$\dfrac{m}{n}$$ debemos expresar el número entero $$a$$ de la forma $$\dfrac{a}{1}$$ y proceder de la misma forma que en el caso anterior: $$$\displaystyle a:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}\cdot \frac{n}{m}$$$

Y, de la misma forma, para dividir un número racional $$\dfrac{m}{n}$$ entre un número entero $$a$$, procederemos así: $$$\displaystyle \frac{m}{n}:a=\frac{m}{n}:\frac{a}{1}=\frac{n}{m}\cdot \frac{1}{a}$$$