División de fracciones

División de dos números racionales

El cociente entre el número entero $-6$ y el número entero $2$ es el número entero $-3$, ya que: $-6=2\cdot (-3)$.

Este ejercicio de multiplicar números enteros se puede escribir en forma de división como: $$\begin{array}{ccc}(-6)& :2& =-3\\ \\ \nearrow & \uparrow & \nwarrow \\ \\ \text{dividendo}& \text{ divisor }& \text{cociente}\end{array}$$

Del mismo modo, el número racional ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ se puede expresar como el producto entre el número racional ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ y otro. Cuál es este otro racional?

Podemos comprobar que este otro racional es ${\displaystyle \frac{1}{5}}$: $${\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{3\cdot 1}{4\cdot 5}}$$. Y entonces diremos que el cociente de la división de ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ entre ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ es igual a ${\displaystyle \frac{1}{5}}$. De la misma forma que se hace con los números enteros, el ejercicio de multiplicar ${\displaystyle \frac{3}{20}=\frac{3}{4}\cdot }$ se puede escribir en forma de división: ${\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?}$.

Calcular el cociente entre dos números racionales

1. El ejercicio: $${\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?}$$ se escribe como: $${\displaystyle ?\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{20}}$$

2. Multiplicamos ambos términos de la igualdad por el inverso del divisor: ${\displaystyle (?\cdot \frac{3}{4})\cdot \frac{4}{3}=(\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3})}$

3. Teniendo en cuenta las propiedades del producto de fracciones, obtenemos: $$?\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}.$$ Y como que ${\displaystyle \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1}$, nos resulta que: $${\displaystyle ?\cdot 1=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3\cdot 4}{20\cdot 3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}}$$ Por lo tanto: $${\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{5}}$$

Es decir, para encontrar el cociente entre dos números racionales ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ (dividendo) y ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ (divisor), siendo el divisor distinto de cero, hay que multiplicar el dividendo por el inverso del divisor: $${\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{d}{c}}$$

Del mismo modo que los números enteros, cuando tenemos una expresión con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones entre fracciones debemos operar primero los paréntesis, posteriormente las multiplicaciones y las divisiones y finalmente las sumas y restas.

División entre un número racional y un entero

Para dividir un número entero $a$ por un número racional ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ debemos expresar el número entero $a$ de la forma ${\displaystyle \frac{a}{1}}$ y proceder de la misma forma que en el caso anterior: $${\displaystyle a:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}\cdot \frac{n}{m}}$$

Y, de la misma forma, para dividir un número racional ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ entre un número entero $a$, procederemos así: $${\displaystyle \frac{m}{n}:a=\frac{m}{n}:\frac{a}{1}=\frac{n}{m}\cdot \frac{1}{a}}$$