Suma y resta de fracciones

Con igual denominador

La suma de dos fracciones con mismo denominador es una fracción con igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Para restar fracciones se procede de igual forma: se mantiene el denominador y se restan los numeradores.

Ejemplo

Así, por ejemplo, queremos sumar las fracciones $\frac{1}{5}$ y $\frac{3}{5}$ . Nos dibujamos ambas fracciones como particiones de rectángulos. La fracción $\frac{1}{5}$ es:

Y la fracción $\frac{3}{5}$ es:

Queremos hacer la suma, es decir, tener al mismo tiempo los rectángulos pintados de la primera fracción y los de la segunda. Esto nos da exactamente $4$ rectángulos pintados:

Con lo que tenemos que la suma de $\frac{1}{5}$ y $\frac{3}{5}$ nos da $\frac{4}{5}$ . $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$

Para hacer una resta, se procede del mismo modo.

Ejemplo

Para restar la fracción $\frac{5}{7}$ a la fracción $\frac{9}{7}$ , empezamos dibujando ambas fracciones como rectángulos. La fracción $\frac{9}{7}$ es:

Y la fracción $\frac{5}{7}$ es:

Así que, si quitamos los cinco rectángulos pintados de la segunda fracción a la primera, nos queda:

(Donde hemos representado de color lila claro las celdas que estaban pintadas de rojo y hemos quitada las azules) Es decir, que: $\frac{9}{7} - \frac{5}{7} = \frac{4}{7}$

Esta sencilla operación se puede formular de la siguiente manera: $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$

Con distinto denominador

A continuación, queremos realizar la siguiente suma: $\frac{3}{12} + \frac{1}{6}$ .

Los denominadores son dos números distintos, $12$ y $6$ , así que no puedes aplicar lo que has visto hasta ahora. Sin embargo, hay un truco, podemos buscar una fracción equivalente a cada una, de forma que tengan el mismo denominador.

Una forma de hacerlo es, por ejemplo, multiplicando el numerador y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplicar el numerador y el denominador de la segunda por el denominador de la primera.

Obtendremos así, dos fracciones equivalentes a las dadas, con el mismo denominador igual al producto de denominadores y que, por tanto, se pueden sumar o restar.

Ejemplo

En el ejemplo que teníamos, para sumar $\frac{3}{12}$ y $\frac{1}{6}$ hacemos: $\frac{3}{12} = \frac{3 \cdot 6}{12 \cdot 6} = \frac{18}{72}$ y

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 12}{6 \cdot 12} = \frac{12}{72}$

De tal forma que obtenemos dos fracciones equivalentes a las primeras pero con el mismo denominador, así que ya las podemos sumar: $\frac{3}{12} + \frac{1}{6} = \frac{18}{72} + \frac{12}{72} = \frac{18 + 12}{72} = \frac{30}{72}$ Ahora debemos simplificar la fracción obtenida: $\begin{array}{l} 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \\ 72 = 2^{3} \cdot 3^{2} \end{array}} \Rightarrow m . c . d (30, 72) = 2 \cdot 3 = 6$

Así que $\frac{30}{72} = \frac{30 : 6}{72 : 6} = \frac{5}{12}$

Es decir, en total hemos obtenido que: $\frac{3}{12} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$

Este procedimiento se puede resumir en la fórmula: $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{(a \times d) \pm (b \times c)}{b \times d}$

Ejemplo

En el ejemplo que teníamos, $\frac{3}{12} + \frac{1}{6} = \frac{(3 \times 6) + (12 \times 1)}{12 \times 6} = \frac{18 \times 12}{72} = \frac{30}{72}$

Y a continuación hay que simplificar la fracción.

Sin embargo, con este método obtenemos fracciones formadas por números muy altos ( $30$ o $72$ ) que a continuación debemos simplificar.

Existe otra manera de lograr hacer la suma o la resta de manera que el resultado sea una fracción más sencilla, y nos ahorremos trabajo a la hora de simplificar.

Para ello, se han de transformar las fracciones que se pretenden sumar o restar, de manera que tengan el mismo denominador, pero que este sea el menor posible.

Esto se consigue calculando el mínimo común múltiplo ( $m . c . m$ ) de todos los denominadores y colocando este número como denominador común.

Ejemplo

En el caso que nos ocupa, calcularemos el $m . c . m .$ de $12$ y de $6$ : $\begin{array}{l} 6 = 2 \cdot 3 \\ 12 = 2^{2} \cdot 3 \end{array}} \Rightarrow m . c . m (6, 12) = 2^{2} \cdot 3 = 12$ por lo tanto, debemos buscar dos fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean $12$ . En el caso de $\frac{3}{12}$ , la respuesta es obviamente ella misma, pero vamos a ver una metodología para encontrar esta fracción.

Una vez tenemos localizado cual será el denominador común, calculamos por cada fracción el valor $m$ por el que la multiplicaremos con el fin de encontrar su fracción equivalente. Este valor se encuentra según la fórmula:

$m = \frac{mcm entre denominadores}{denominador de la fracción}$

De forma que para cada fracción encontramos un valor de $m$ distinto.

Ejemplo

En la fracción $\frac{1}{6}$ , el valor de $m$ es: $m = \frac{m c m (6, 12)}{6} = \frac{12}{6} = 2$ mientras que para la fracción $\frac{3}{12}$ tenemos: $m = \frac{m c m (6, 12)}{12} = \frac{12}{12} = 1$ De forma que ya solamente nos falta multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por el valor de $m$ encontrado y sumar los numeradores correspondientes. A continuación simplificaremos la fracción, si se puede.

Ejemplo

Para las fracciones del ejemplo, tenemos: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$ y $\frac{3}{12} = \frac{3 \cdot 1}{12 \cdot 1} = \frac{3}{12}$ Así que la suma es: $\frac{1}{6} + \frac{3}{12} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{2 + 3}{12} = \frac{5}{12}$ Y este resultado ya esta simplificado al máximo.

Resumiendo, para sumar o restar dos o más fracciones con diferentes denominadores, debemos:

Simplificar si se puede las fracciones dadas.
Calcular el mínimo común múltiple de los denominadores.
Calcular para cada fracción el valor $m$ por el que la debemos multiplicar: $m = \frac{mcm entre denominadores}{denominador de la fracción}$
Calcular las fracciones equivalentes a cada, multiplicando numerador y denominador por $m$ .
Sumar o restar las fracciones con mismo denominador.
Simplificar si se puede.