Suma i resta de fraccions

Amb igual denominador

La suma de dues fraccions amb igual denominador és una fracció amb el mateix denominador i el numerador de la què és la suma dels numeradors.

Per a restar fraccions es procedeix de la mateixa manera: es manté el denominador i es resten els numeradors.

Exemple

Així, per exemple, volem sumar les fraccions $\frac{1}{5}$ i $\frac{3}{5}$ . Dibuixem ambdues fraccions com a particions de rectangles. La fracció $\frac{1}{5}$ és:

i la fracció $\frac{3}{5}$ és:

Volem fer la suma, és a dir, tenir el mateix temps els rectangles pintats de la primera fracció i els de la segona. Això ens dóna exactament $4$ rectangles pintats:

Amb el que tenim que la suma de $\frac{1}{5}$ i $\frac{3}{5}$ ens dóna $\frac{4}{5}$ . $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$

Per a fer una resta, es procedeix de la mateixa manera.

Exemple

Per a restar la fracció $\frac{5}{7}$ a la fracció $\frac{9}{7}$ , comencem per dibuixar ambdues fraccions com a rectangles. La fracció $\frac{9}{7}$ és:

i la fracció $\frac{5}{7}$ és:

Així que, si treiem els cinc rectangles platejats de la segona fracció a la primera, ens queda:

(On hem representat en color lila clar les cel·les que estaven pintades de vermell i hem tret les de color blau) És a dir, que: $\frac{9}{7} - \frac{5}{7} = \frac{4}{7}$

Aquesta senzilla operació es pot formular de la següent manera: $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$

Amb diferent denominador

A continuació, volem realitzar la següent suma: $\frac{3}{12} + \frac{1}{6}$ .

Els denominadors són dos nombres diferents $12$ i $6$ així que no podem aplicar el que hem vist fins ara. En canvi, hi ha un truc, podem buscar una fracció equivalent a cadascuna de manera que tinguin el mateix denominador.

Una manera de fer-ho és, per exemple, multiplicant el numerador i el denominador de la primera fracció pel denominador de la segona i, multiplicar el numerador i el denominador de la segona pel denominador de la primera.

Així, obtenim dues fraccions equivalents a les que ens han donat però amb el mateix denominador, que serà igual al producte de denominadors i que, per tant, els podem sumar o restar amb les regles que hem donat a l'apartat anterior.

Exemple

A l'exemple que ens plantejaven al començar voliem sumar $\frac{3}{12}$ i $\frac{1}{6}$ . Per tant, fem: $\frac{3}{12} = \frac{3 \cdot 6}{12 \cdot 6} = \frac{18}{72}$ i

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 12}{6 \cdot 12} = \frac{12}{72}$

De tal forma que obtenim dues fraccions equivalents a les primeres però amb el mateix denominador. Ara sí que les podem sumar: $\frac{3}{12} + \frac{1}{6} = \frac{18}{72} + \frac{12}{72} = \frac{18 + 12}{72} = \frac{30}{72}$ Ara hem de simplificar la fracció obtinguda: $\begin{array}{l} 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \\ 72 = 2^{3} \cdot 3^{2} \end{array}} \Rightarrow m . c . d (30, 72) = 2 \cdot 3 = 6$

Així que: $\frac{30}{72} = \frac{30 : 6}{72 : 6} = \frac{5}{12}$

És a dir, en total hem obtingut que: $\frac{3}{12} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$

Aquest procediment es pot resumir en la fórmula: $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{(a \times d) \pm (b \times c)}{b \times d}$

Exemple

A l' exemple que teníem, $\frac{3}{12} + \frac{1}{6} = \frac{(3 \times 6) + (12 \times 1)}{12 \times 6} = \frac{18 \times 12}{72} = \frac{30}{72}$

I, a continuació s'hauria de simplificar la fracció tal com ho hem fet abans.

Tot i així, amb aquest mètode obtenim fraccions formades per nombres molt alts ( $30$ o $72$ ) que, a continuació, hem de simplificar.

Hi ha una altra manera de conseguir fer la suma o la resta de manera que el resultat sigui una fracció més senzilla i ens estalviem treball a l'hora de simplificar.

Per això, s'han de transformar les fraccions que es pretenen sumar o restar, de manera que tinguin el mateix denominador, però que aquest sigui el menor possible.

Això s'aconsegueix calculant el mínim comú múltiple $(m . c . m .)$ de tots els denominadors i posant aquest número com a denominador comú.

Exemple

En el cas que estem treballant, calcularem el $m . c . m .$ de $12$ i de $6$ : $\begin{array}{l} 6 = 2 \cdot 3 \\ 12 = 2^{2} \cdot 3 \end{array}} \Rightarrow m . c . m (6, 12) = 2^{2} \cdot 3 = 12$ per tant, hem de buscar dues fraccions equivalents a les donades, els denominadors de les quals siguin $12$ . En el cas de $\frac{3}{12}$ , la resposta es obviament ella mateixa, però anem a veure una metodologia per a trobar aquesta fracció.

Un cop hem localitzat quin serà el denominador comú, calculem per cada fracció el valor $m$ pel que multiplicarem amb l'objectiu de trobar la seva fracció equivalent.

Aquest valor el podem trobar mitjançant la següent fórmula:

$m = \frac{mcm entre denominadors}{denominador de la fracció}$

De forma que, per a cada fracció trobarem un valor de $m$ diferent.

Exemple

En la fracció $\frac{1}{6}$ , el valor de $m$ és: $m = \frac{m c m (6, 12)}{6} = \frac{12}{6} = 2$ i per a la fracció $\frac{3}{12}$ tenim: $m = \frac{m c m (6, 12)}{12} = \frac{12}{12} = 1$

De manera que ja només ens falta multiplicar el numerador i el denominador de cada fracció pel valor de $m$ trobat i sumar els numeradors corresponents. A continuació simplificarem la fracció, si es pot.

Exemple

Per a les fraccions de l'exemple, tenim: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$ y $\frac{3}{12} = \frac{3 \cdot 1}{12 \cdot 1} = \frac{3}{12}$ Així que la suma és:

$\frac{1}{6} + \frac{3}{12} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{2 + 3}{12} = \frac{5}{12}$ I aquest resultat ja està simplificat al màxim.

Resumint, per a sumar o restar dos o més fraccions amb diferents denominadors, hem de:

Simplificar si es pot les fraccions donades.
Calcular el mínim comú múltiple dels denominadors.
Calcular per a cada fracció el valor pel qual l'hem de multiplicar: $m = \frac{mcm entre denominadors}{denominador de la fracció}$
Calcular les fraccions equivalents a cada, multiplicant numerador i denominador pe $m$ .
Sumar o restar les fraccions amb mateix denominador.
Simplificar si es pot.