Amb igual denominador
La suma de dues fraccions amb igual denominador és una fracció amb el mateix denominador i el numerador de la què és la suma dels numeradors.
Per a restar fraccions es procedeix de la mateixa manera: es manté el denominador i es resten els numeradors.
Així, per exemple, volem sumar les fraccions $$\dfrac{1}{5}$$ i $$\dfrac{3}{5}$$. Dibuixem ambdues fraccions com a particions de rectangles. La fracció $$\dfrac{1}{5}$$ és:
i la fracció $$\dfrac{3}{5}$$ és:
Volem fer la suma, és a dir, tenir el mateix temps els rectangles pintats de la primera fracció i els de la segona. Això ens dóna exactament $$4$$ rectangles pintats:
Amb el que tenim que la suma de $$\dfrac{1}{5}$$ i $$\dfrac{3}{5}$$ ens dóna $$\dfrac{4}{5}$$. $$$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5}$$$
Per a fer una resta, es procedeix de la mateixa manera.
Per a restar la fracció $$\dfrac{5}{7}$$ a la fracció $$\dfrac{9}{7}$$, comencem per dibuixar ambdues fraccions com a rectangles. La fracció $$\dfrac{9}{7}$$ és:
i la fracció $$\dfrac{5}{7}$$ és:
Així que, si treiem els cinc rectangles platejats de la segona fracció a la primera, ens queda:
(On hem representat en color lila clar les cel·les que estaven pintades de vermell i hem tret les de color blau) És a dir, que: $$$\dfrac{9}{7}-\dfrac{5}{7}=\dfrac{4}{7}$$$
Aquesta senzilla operació es pot formular de la següent manera: $$$\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}$$$
Amb diferent denominador
A continuació, volem realitzar la següent suma: $$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}$$.
Els denominadors són dos nombres diferents $$12$$ i $$6$$ així que no podem aplicar el que hem vist fins ara. En canvi, hi ha un truc, podem buscar una fracció equivalent a cadascuna de manera que tinguin el mateix denominador.
Una manera de fer-ho és, per exemple, multiplicant el numerador i el denominador de la primera fracció pel denominador de la segona i, multiplicar el numerador i el denominador de la segona pel denominador de la primera.
Així, obtenim dues fraccions equivalents a les que ens han donat però amb el mateix denominador, que serà igual al producte de denominadors i que, per tant, els podem sumar o restar amb les regles que hem donat a l'apartat anterior.
A l'exemple que ens plantejaven al començar voliem sumar $$\dfrac{3}{12}$$ i $$\dfrac{1}{6}$$. Per tant, fem: $$$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3\cdot6}{12\cdot6}=\dfrac{18}{72}$$$ i
$$$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot12}{6\cdot12}=\dfrac{12}{72}$$$
De tal forma que obtenim dues fraccions equivalents a les primeres però amb el mateix denominador. Ara sí que les podem sumar: $$$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{18}{72}+\dfrac{12}{72}=\dfrac{18+12}{72}=\dfrac{30}{72}$$$ Ara hem de simplificar la fracció obtinguda: $$$\left.\begin{array}{l} 30=2\cdot3\cdot5 \\ 72=2^3\cdot 3^2 \end{array} \right\} \Rightarrow m.c.d(30,72)=2\cdot3=6$$$
Així que: $$$\dfrac{30}{72}=\dfrac{30:6}{72:6}=\dfrac{5}{12}$$$
És a dir, en total hem obtingut que: $$$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{12}$$$
Aquest procediment es pot resumir en la fórmula: $$$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{(a\times d)\pm(b\times c)}{b\times d}$$$
A l' exemple que teníem, $$$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{(3\times 6)+(12\times 1)}{12\times 6}=\dfrac{18\times 12}{72}=\dfrac{30}{72}$$$
I, a continuació s'hauria de simplificar la fracció tal com ho hem fet abans.
Tot i així, amb aquest mètode obtenim fraccions formades per nombres molt alts ($$30$$ o $$72$$) que, a continuació, hem de simplificar.
Hi ha una altra manera de conseguir fer la suma o la resta de manera que el resultat sigui una fracció més senzilla i ens estalviem treball a l'hora de simplificar.
Per això, s'han de transformar les fraccions que es pretenen sumar o restar, de manera que tinguin el mateix denominador, però que aquest sigui el menor possible.
Això s'aconsegueix calculant el mínim comú múltiple $$(m.c.m.)$$ de tots els denominadors i posant aquest número com a denominador comú.
En el cas que estem treballant, calcularem el $$m.c.m.$$ de $$12$$ i de $$6$$: $$$\left.\begin{array}{l} 6=2\cdot3 \\ 12=2^2\cdot 3 \end{array} \right\} \Rightarrow m.c.m(6,12)=2^2\cdot3=12$$$ per tant, hem de buscar dues fraccions equivalents a les donades, els denominadors de les quals siguin $$12$$. En el cas de $$\dfrac{3}{12}$$, la resposta es obviament ella mateixa, però anem a veure una metodologia per a trobar aquesta fracció.
Un cop hem localitzat quin serà el denominador comú, calculem per cada fracció el valor $$m$$ pel que multiplicarem amb l'objectiu de trobar la seva fracció equivalent.
Aquest valor el podem trobar mitjançant la següent fórmula:
$$$m=\dfrac{\mbox{mcm entre denominadors}}{\mbox{denominador de la fracció}}$$$
De forma que, per a cada fracció trobarem un valor de $$m$$ diferent.
En la fracció $$\dfrac{1}{6}$$, el valor de $$m$$ és: $$$m=\dfrac{mcm(6,12)}{6}=\dfrac{12}{6}=2$$$ i per a la fracció $$\dfrac{3}{12}$$ tenim: $$$m=\dfrac{mcm(6,12)}{12}=\dfrac{12}{12}=1$$$
De manera que ja només ens falta multiplicar el numerador i el denominador de cada fracció pel valor de $$m$$ trobat i sumar els numeradors corresponents. A continuació simplificarem la fracció, si es pot.
Per a les fraccions de l'exemple, tenim: $$$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\dfrac{2}{12}$$$ y $$$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3\cdot 1}{12\cdot 1}=\dfrac{3}{12}$$$ Així que la suma és:
$$$\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{2+3}{12}=\dfrac{5}{12}$$$ I aquest resultat ja està simplificat al màxim.
Resumint, per a sumar o restar dos o més fraccions amb diferents denominadors, hem de:
- Simplificar si es pot les fraccions donades.
- Calcular el mínim comú múltiple dels denominadors.
-
Calcular per a cada fracció el valor pel qual l'hem de multiplicar: $$$m=\dfrac{\mbox{mcm entre denominadors}}{\mbox{denominador de la fracció}}$$$
- Calcular les fraccions equivalents a cada, multiplicant numerador i denominador pe $$m$$.
- Sumar o restar les fraccions amb mateix denominador.
- Simplificar si es pot.