Multiplicació de fraccions

Comencem plantejant un problema:

La família Sangakoo té una parcel·la de terreny rectangular. Tan sols la meitat de la parcel·la es treballa, i tres quartes parts del conreu és blat de moro.

Volem saber quina part de la superfície total de la parcel·la aquesta conreada amb blat de moro.

Considerem una parcel·la rectangular:

Tan sols la meitat de la parcel·la està conreada:

I d'aquesta meitat, $$\dfrac{3}{5}$$ corresponen al blat de moro (és blat de moro blau!)

En total, la zona dedicada al cultiu de blat de moro representa $$\dfrac{3}{10}$$ del total de la parcel·la.

La fracció $$\dfrac{3}{10}$$ és el resultat de multiplicar $$\dfrac{1}{2}$$ per $$\dfrac{3}{5}.$$

El producte de dues fraccions és una altra fracció tal que el seu numerador és el producte dels numeradors de les fraccions donades, i el seu denominador és el producte dels seus denominadors.

Això es pot escriure segons la fórmula següent: $$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

La multiplicació d'un nombre enter per una fracció, com aquest exemple: $$7 \cdot \dfrac{3}{4}$$ es fa igual.

$$$7\cdot \dfrac{3}{4}= \dfrac{7}{1}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{7 \cdot 3}{1 \cdot 4}=\dfrac{21}{4}$$$

Quan un mateix nombre multiplica en el numerador i en el denominador de l'operació, es pot eliminar de les dues posicions, ja que les accions de multiplicar i dividir entre el mateix nombre es len mútuament. Per exemple:

$$$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5}=\dfrac{1}{5}$$$

Propietats del producte de fraccions

La multiplicació de fraccions té les propietats següents:

• Propietat commutativa: si $$\dfrac{a}{b}$$ i $$\dfrac{c}{d}$$ són dues fraccions qualssevol, es compleix que: $$$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot\frac{a}{b}$$$ És a dir, canviant l'ordre dels factors, no es modifica el resultat.

• Propietat associativa: si $$\dfrac{a}{b}$$, $$\dfrac{c}{d}$$ i $$\dfrac{n}{m}$$ són tres fraccions qualssevol, es compleix que: $$$\displaystyle \Big(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\Big)\cdot \frac{n}{m}= \frac{a}{b}\cdot \Big(\frac{c}{d} \cdot \frac{n}{m}\Big)$$$

És a dir, per calcular el producte de tres o més fraccions, podem agrupar-ho ens sembli, el resultat serà sempre el mateix.

• Element neutre: el nombre enter $$1$$ és l'element neutre de la multiplicació de fraccions ja que és fracció: $$1=\dfrac{1}{1}=\dfrac{a}{a}$$, per a qualsevol enter $$a\neq 0$$, i es compleix que $$$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot 1=1 \cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{b}$$$

• Element invers: per a tota fracció diferent de zero hi ha una altra fracció tal que el producte és la unitat.

Direm que dues fraccions són inverses si el seu producte és el nombre $$1$$. O el que és el mateix, el producte de qualsevol fracció diferent de zero, per la seva invers és igual a $$1$$.

Donada una fracció $$\dfrac{a}{b}$$ el seu invers es igual a $$$\displaystyle \frac{b}{a}:\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b \cdot a}=\frac{a\cdot b}{a \cdot b}=1$$$ La fracció $$0= \dfrac{0}{1}=\dfrac{0}{a}$$, per a qualsevol enter $$a\neq 0$$, no té invers ja que l'expressió $$\dfrac{1}{0}$$ no té sentit matemàtic.

Aquestes propietats doten al conjunt de les fraccions amb la relació d'equivalència, i sense l'element zero, d'estructura de grup abelià amb el producte. La següent propietat ens defineix aquest mateix conjunt com a cos commutatiu amb unitat.

• Propietat distributiva del producte respecte a la suma: si $$\displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d}$$, i $$\dfrac{n}{m}$$ són tres nombres racionals qualsevol, es compleix que: $$$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \Big(\frac{c}{d}+\frac{n}{m}\Big)=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\cdot \frac{n}{m}$$$

Això significa que el producte d'un nombre per la suma de dos nombres racionals es pot transformar a la suma dels productes del primer número per cada un dels altres dos.