Multiplicació de fraccions

Comencem plantejant un problema:

La família Sangakoo té una parcel·la de terreny rectangular. Tan sols la meitat de la parcel·la es treballa, i tres quartes parts del conreu és blat de moro.

Volem saber quina part de la superfície total de la parcel·la aquesta conreada amb blat de moro.

Considerem una parcel·la rectangular:

Tan sols la meitat de la parcel·la està conreada:

I d'aquesta meitat, ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ corresponen al blat de moro (és blat de moro blau!)

En total, la zona dedicada al cultiu de blat de moro representa ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ del total de la parcel·la.

La fracció ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ és el resultat de multiplicar ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ per ${\displaystyle \frac{3}{5}}.$

El producte de dues fraccions és una altra fracció tal que el seu numerador és el producte dels numeradors de les fraccions donades, i el seu denominador és el producte dels seus denominadors.

Això es pot escriure segons la fórmula següent: ${\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}$

La multiplicació d'un nombre enter per una fracció, com aquest exemple: $7\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}$ es fa igual.

$$7\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{7}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{7\cdot 3}{1\cdot 4}}={\displaystyle \frac{21}{4}}$$

Quan un mateix nombre multiplica en el numerador i en el denominador de l'operació, es pot eliminar de les dues posicions, ja que les accions de multiplicar i dividir entre el mateix nombre es len mútuament. Per exemple:

$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{1\cdot 2}{2\cdot 5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$$

Propietats del producte de fraccions

La multiplicació de fraccions té les propietats següents:

• Propietat commutativa: si ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ i ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ són dues fraccions qualssevol, es compleix que: $${\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}}$$ És a dir, canviant l'ordre dels factors, no es modifica el resultat.

• Propietat associativa: si ${\displaystyle \frac{a}{b}}$, ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ i ${\displaystyle \frac{n}{m}}$ són tres fraccions qualssevol, es compleix que: $${\displaystyle (\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d})\cdot \frac{n}{m}=\frac{a}{b}\cdot (\frac{c}{d}\cdot \frac{n}{m})}$$

És a dir, per calcular el producte de tres o més fraccions, podem agrupar-ho ens sembli, el resultat serà sempre el mateix.

• Element neutre: el nombre enter $1$ és l'element neutre de la multiplicació de fraccions ja que és fracció: $1={\displaystyle \frac{1}{1}}={\displaystyle \frac{a}{a}}$, per a qualsevol enter $a\ne 0$, i es compleix que $${\displaystyle \frac{a}{b}\cdot 1=1\cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{b}}$$

• Element invers: per a tota fracció diferent de zero hi ha una altra fracció tal que el producte és la unitat.

Direm que dues fraccions són inverses si el seu producte és el nombre $1$. O el que és el mateix, el producte de qualsevol fracció diferent de zero, per la seva invers és igual a $1$.

Donada una fracció ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ el seu invers es igual a $${\displaystyle \frac{b}{a}:\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b\cdot a}=\frac{a\cdot b}{a\cdot b}=1}$$ La fracció $0={\displaystyle \frac{0}{1}}={\displaystyle \frac{0}{a}}$, per a qualsevol enter $a\ne 0$, no té invers ja que l'expressió ${\displaystyle \frac{1}{0}}$ no té sentit matemàtic.

Aquestes propietats doten al conjunt de les fraccions amb la relació d'equivalència, i sense l'element zero, d'estructura de grup abelià amb el producte. La següent propietat ens defineix aquest mateix conjunt com a cos commutatiu amb unitat.

• Propietat distributiva del producte respecte a la suma: si ${\displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d}}$, i ${\displaystyle \frac{n}{m}}$ són tres nombres racionals qualsevol, es compleix que: $${\displaystyle \frac{a}{b}\cdot (\frac{c}{d}+\frac{n}{m})=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\cdot \frac{n}{m}}$$

Això significa que el producte d'un nombre per la suma de dos nombres racionals es pot transformar a la suma dels productes del primer número per cada un dels altres dos.