Multiplicación de fracciones

Empezamos planteándonos un problema:

La familia Sangakoo tiene una parcela de terreno rectangular. Tan solo la mitad de la parcela se trabaja, y tres cuartas partes del conreo es maíz. Queremos saber qué parte de la superficie total de la parcela esta cultivada con maíz.

Consideremos una parcela rectangular:

Tan solo la mitad de la parcela esta conreada:

Y de esta mitad, ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ corresponden al maíz (es maíz azul!)

En total, la zona dedicada al cultivo de maíz representa ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ del total de la parcela.

La fracción ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ es el resultado de multiplicar ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ por ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.

El producto de dos fracciones es otra fracción tal que su numerador es el producto de los numeradores de las fracciones dadas, y su denominador es el producto de sus denominadores.

Esto se puede escribir según la siguiente fórmula: ${\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot d}}$

La multiplicación de un número entero por una fracción, como este ejemplo: $7\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}$ se lleva a cabo igual.

$$7\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{7}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{7\cdot 3}{1\cdot 4}}={\displaystyle \frac{21}{4}}$$

Cuando un mismo número multiplica en el numerador y en el denominador de la operación, se puede eliminar de ambas posiciones, ya que las acciones de multiplicar y dividir entre el mismo número se anulan mutuamente. Por ejemplo: $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{1\cdot 2}{2\cdot 5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$$

Propiedades del producto de fracciones

La multiplicación de fracciones tiene las propiedades siguientes:

• Propiedad conmutativa: si ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ y ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ son dos fracciones cualesquiera, se cumple que: $${\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}}$$ Es decir, cambiando el orden de los factores, no se modifica el resultado.

• Propiedad asociativa: si ${\displaystyle \frac{a}{b}}$, ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ y ${\displaystyle \frac{n}{m}}$ son tres fracciones cualesquiera, se cumple que: $${\displaystyle (\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d})\cdot \frac{n}{m}=\frac{a}{b}\cdot (\frac{c}{d}\cdot \frac{n}{m})}$$

Es decir, para calcular el producto de tres o más fracciones, podemos agruparlas como nos parezca: el resultado será siempre el mismo.

• Elemento neutro: el número entero $1$ es el elemento neutro de la multiplicación de fracciones ya que es fracción: $1={\displaystyle \frac{1}{1}}={\displaystyle \frac{a}{a}}$, para cualquier entero $a\ne 0$, y se cumple que: $${\displaystyle \frac{a}{b}\cdot 1=1\cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{b}}$$

• Elemento inverso: para toda fracción distinta de cero existe otra fracción tal que su producto es la unidad.

Diremos que dos fracciones son inversas si su producto es el número $1$. O lo que es lo mismo, el producto de cualquier fracción distinta de cero, por su inverso es igual a $1$.

Dado un número quebrado ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ su inverso es igual a $${\displaystyle \frac{b}{a}:\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b\cdot a}=\frac{a\cdot b}{a\cdot b}=1}$$ La fracción $0={\displaystyle \frac{0}{1}}={\displaystyle \frac{0}{a}}$, para cualquier entero $a\ne 0$, no tiene inverso pues la expresión ${\displaystyle \frac{1}{0}}$ no tiene sentido matemático.

Estas propiedades dotan al conjunto de las fracciones con la relación de equivalencia, y sin el elemento cero, de estructura de grupo abeliano con el producto. La siguiente propiedad nos define este mismo conjunto como cuerpo conmutativo con unidad.

• Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: si ${\displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d}}$, y ${\displaystyle \frac{n}{m}}$ son tres números racionales cualesquiera, se cumple que: $${\displaystyle \frac{a}{b}\cdot (\frac{c}{d}+\frac{n}{m})=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\cdot \frac{n}{m}}$$

Lo que significa que el producto de un número por la suma de dos números racionales se puede transformar a la suma de de los productos del primer número por cada uno de los otros dos.