Divisors i múltiples d'un nombre

Divisors d'un nombre

Si es pensa en dos nombres enters qualssevol, per exemple, $12$ i $3$, es pot fer la seva divisió:

Per a més comoditat s'utilitzarà el format de taules per representar les divisions:

Obtenint com a resultat el número $4$, un altre nombre enter. D'això se'n diu una divisió exacta, ja que el residu de la divisió és $0$.

Ara, si es pensa en dos nombres, per exemple, $12$ i $5$, es veurà que també es poden dividir:

En aquest cas, obtenim com a residu $2$. Per tant, no serà una divisió exacta.

Si es prova a dividir diferents nombres entre si es comprovarà que en alguns casos s'obtenen divisions exactes i en altres no.

De manera que es pot dir que un nombre és divisor d'un altre quan la divisió del segon entre el primer (el divisor) és una divisió exacta.

Com es veu en els exemples, els divisors d'un nombre sempre seran menors que ell. Entre ells estarà sempre l'$1$, pel que pot ser dividit de forma exacta qualsevol nombre.

A més, qualsevol nombre serà sempre divisor de si mateix, donant com a quocient l'$1$.

Múltiples d'un nombre

Si es pren un dels exemples anteriors, per exemple el número $35$, es pot concloure que $35$ és un múltiple de qualsevol dels seus divisors, que són $1,5,7$ i $35$.

Un nombre és múltiple d'un altre quan aquest últim pot multiplicar per un tercer número per obtenir el primer.

En aquest cas, es pot dir, per exemple, que $35$ és múltiple de $5$ perquè:

$5\times 7=35$

De la mateixa manera, $35$ és múltiple de $7$ per la mateixa raó.

En els altres exemples, i portant a terme les multiplicacions entre divisors que donen lloc al nombre del qual hem partit, ja sigui $12,10,27$ o $40$, podem concloure que:

$12$ és múltiple de $1,2,3,4,6$ i $12$ perquè tots aquests números poden ser multiplicats per un altre i donar lloc a $12$. $$\begin{gathered} 1\times 12=12 \\ 2\times 6=12 \\ 3\times 4=12 \end{gathered}$$ $10$ és múltiple de de $1,2,5$ i $10$. $$\begin{gathered} 1\times 10=10 \\ 2\times 5=10 \end{gathered}$$ $27$ és múltiple de $1,3,9$ i $27$. $$\begin{gathered} 1\times 27=27 \\ 3\times 9=27 \end{gathered}$$ $40$ és múltiple de $1,2,4,5,8,10,20$ i $40$. $$\begin{gathered} 1\times 40=40 \\ 2\times 20=40 \\ 40\times 10=40 \\ 5\times 8=40 \end{gathered}$$

Com es veu en els exemples, qualsevol nombre (diferent de zero) és múltiple de si mateix i de la unitat. A més, qualsevol nombre té infinits múltiples ja que sempre podrà ser multiplicat per un nombre qualsevol.