Divisores y múltiplos de un número

Divisores de un número

Si se piensa en dos números enteros cualesquiera, por ejemplo, $12$ y $3$ , se puede hacer su división:

imagen

Para mayor comodidad se utilizará el formato de tablas para reprentar las divisiones:

$12$	$3$
$0$	$4$

Obteniendo como resultado el número $4$ , otro número entero. A esto se le llama una división exacta, ya que el resto de la división es $0$ .

Ahora, si se piensa en otros dos números, por ejemplo, $12$ y $5$ , se verá que también se pueden dividir:

$12$	$5$
$2$	$2$

En este caso, obtenemos un resto, el número $2$ . Por tanto, no será una división exacta.

Si se prueba a dividir diferentes números entre sí se comprobará que en algunos casos se obtienen divisiones exactas y en otros no.

Ejemplo

Si se divide el número $12$ entre $1, 2, 3, 4, 6$ o $12$ , se obtienen resultados exactos, con resto $0$ . $\begin{array}{l} 12 \div 1 = 12 \\ 12 \div 2 = 6 \\ 12 \div 3 = 4 \\ 12 \div 4 = 3 \\ 12 \div 6 = 2 \\ 12 \div 12 = 1 \end{array}$ Se dice que los números $1, 2, 3, 4, 6$ y $12$ son divisores del número $12$ .

De manera que se puede decir que un número es divisor de otro cuando la división del segundo entre el primero (el divisor) es una división exacta.

Ejemplo

Los divisores del número $10$ son $1, 2, 5$ y $10$ . $10 \div 1 = 10 10 \div 2 = 5 10 \div 5 = 2 10 \div 10 = 1$

Ejemplo

Los divisores del número $27$ son $1, 3, 9$ y $27$ . $21 \div 1 = 27 27 \div 3 = 9 27 \div 9 = 3 27 \div 27 = 1$

Ejemplo

Los divisores del número $35$ son $1, 5, 7$ y $35$ . $35 \div 1 = 35 35 \div 5 = 7 35 \div 7 = 5 35 \div 35 = 1$

Ejemplo

Los divisores del número $40$ son $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20$ y $40$ . $40 \div 1 = 40 40 \div 2 = 20 40 \div 4 = 10 40 \div 5 = 8 40 \div 8 = 5 40 \div 10 = 4 40 \div 20 = 2 40 \div 40 = 1$

Como se ve en los ejemplos, los divisores de un número siempre serán menores que él. Entre ellos estará siempre el $1$ , por el que puede ser dividido de forma exacta cualquier número. Además, cualquier número será siempre divisor de sí mismo, dando como cociente el $1$ .

Múltiplos de un número

Si se toma uno de los ejemplos anteriores, por ejemplo el número $35$ , se puede concluir que $35$ resulta un múltiplo de cualquiera de sus divisores, que son $1, 5, 7$ y $35$ .

Un número es múltiplo de otro cuando éste último puede multiplicarse por un tercer número para obtener el primero.

En este caso, se puede decir, por ejemplo, que $35$ es múltiplo de $5$ porque:

$5 \times 7 = 35$

De la misma manera, $35$ es múltiplo de $7$ por la misma razón.

En los otros ejemplos, y llevando a cabo las multiplicaciones entre divisores que dan lugar al número del que hemos partido, ya sea $12, 10, 27$ o $40$ , podemos concluir que:

$12$ es múltiplo de $1, 2, 3, 4, 6$ y $12$ porque todos estos números pueden ser multiplicados por otro y dar lugar a $12$ . $1 \times 12 = 12 2 \times 6 = 12 3 \times 4 = 12$ $10$ es múltiplo de $1, 2, 5$ y $10$ . $1 \times 10 = 10 2 \times 5 = 10$ $27$ es múltiplo de $1, 3, 9$ y $27$ . $1 \times 27 = 27 3 \times 9 = 27$ $40$ es múltiplo de $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20$ y $40$ . $1 \times 40 = 40 2 \times 20 = 40 40 \times 10 = 40 5 \times 8 = 40$

Como se ve en los ejemplos, cualquier número (distinto de cero) es múltiplo de sí mismo y de la unidad. Además, cualquier número tiene infinitos múltiplos puesto que siempre podrá ser multiplicado por un número cualquiera.