Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo

Máximo común divisor

Si, por ejemplo, se tienen los números 12 y 16, una cuestión que se podría plantear es si ambos pueden dividirse por un mismo número. Es decir, si tienen un divisor común. $$\begin{gathered} 12=2\times 3\times 2 \\ 16=2\times 2\times 2\times 2 \end{gathered}$$ En este caso, ambos pueden dividirse por el número $2$, dando como resultado $$\begin{gathered} 12÷2=6 \\ 16÷2=8 \end{gathered}$$ Pero ambos números podrían dividirse por $2$ otra vez: $$\begin{gathered} 6÷2=3 \\ 8÷2=4 \end{gathered}$$ De esta manera, se han simplificado dos números más grandes $(12,16)$ en otros más pequeños $(3,4)$. En realidad, este ejercicio se puede hacer con menos pasos. La idea es encontrar un divisor común de dos números que sea capaz de simplicarlos lo máximo posible. En otras palabras, se trata de encontrar el número divisor más grande que sea común a los dos números, que se denomina maximo común divisor ($m.c.d$).

Imagínense dos números cualesquiera, por ejemplo, el $40$ y el $60$. Lo primero que se ha de hacer es factorizar ambos números:

$\begin{array}{rcl}40& |& 2\\ 20& |& 2\\ 10& |& 2\\ 5& |& 5\\ 1& & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}60& |& 2\\ 30& |& 2\\ 15& |& 3\\ 5& |& 5\\ 1& & \end{array}$

$$\begin{gathered} 40=2\times 2\times 2\times 5=2^3\times 5 \\ 60=2\times 2\times 3\times 5=2^2\times 3\times 5 \end{gathered}$$

Aquí viene ahora hallar el máximo común divisor ($m.c.d.$) se ha de multiplicar los divisores primos comunes de menor exponente. Es decir, en este caso:

$m.c.d.(40,60)=2^2\times 5=20$

Mínimo común múltiplo

Se puede hacer más cosas con las factorizaciones de los números $40$ y $60$.

Si se quiere averiguar cuál es el múltiplo más pequeño que tengan en común ambos números, al igual que antes, la respuesta se basa en una sencilla regla: para hallar el mínimo común múltiplo ($m.c.m.$) se ha de multiplicar los divisores primos comunes y no comunes de mayor exponente.

Es decir, en este caso: $m.c.m.(40,60)=2^3\times 3\times 5=120$

Sabiendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, y a la inversa. Sólo se ha de seguir la siguiente fórmula: $${\displaystyle m.c.m(a,b)=\frac{a\times b}{m.c.d.(a,b)}}$$