Màxim comú divisor i Mínim comú múltiple

Màxim comú divisor

Si, per exemple, es tenen els números 12 i 16, una qüestió que es podria plantejar és si tots dos poden dividir per un mateix número. És a dir, si tenen un divisor comú. $$\begin{gathered} 12=2\times 3\times 2 \\ 16=2\times 2\times 2\times 2 \end{gathered}$$ EEn aquest cas, tots dos poden dividir pel número $2$, donant com a resultat: $$\begin{gathered} 12÷2=6 \\ 16÷2=8 \end{gathered}$$ Però tots dos números podrien dividir per $2$ de nou: $$\begin{gathered} 6÷2=3 \\ 8÷2=4 \end{gathered}$$ D'aquesta manera, s'han simplificat dos números més grans $(12,16)$ en altres més petits $(3,4)$. En realitat, aquest exercici es pot fer amb menys passos. La idea és trobar un divisor comú de dos nombres que sigui capaç de simplicitat el màxim possible. En altres paraules, es tracta de trobar el nombre divisor més gran que sigui comú als dos nombres, que s'anomena màxim comú divisor ($m.c.d.$).

Imagineu dos nombres qualssevol, per exemple, el $40$ i el $60$. El primer que s'ha de fer és factoritzar ambdós números.

$\begin{array}{rcl}40& |& 2\\ 20& |& 2\\ 10& |& 2\\ 5& |& 5\\ 1& & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}60& |& 2\\ 30& |& 2\\ 15& |& 3\\ 5& |& 5\\ 1& & \end{array}$

$$\begin{gathered} 40=2\times 2\times 2\times 5=2^3\times 5 \\ 60=2\times 2\times 3\times 5=2^2\times 3\times 5 \end{gathered}$$

Ara ve la qüestió de trobar el màxim comú divisor (mcd) s'ha de multiplicar els divisors primers comuns de menor exponent.

És a dir, en aquest cas:

$m.c.d.(40,60)=2^2\times 5=20$

Mínim comú múltiple

Es pot fer més coses amb les factoritzacions dels números $40$ i $60$.

Si es vol esbrinar quin és el múltiple més petit que tinguin en comú tots dos números, igual que abans, la resposta es basa en una senzilla regla: per trobar el mínim comú múltiple ($m.c.m.$) s'ha de multiplicar els divisors primers comuns i no comuns de major exponent.

És a dir, en aquest cas: $m.c.m.(40,60)=2^3\times 3\times 5=120$

Sabent el màxim comú divisor de dos nombres, es pot calcular el mínim comú múltiple d'ells, i al revés. Només s'ha de seguir la següent fórmula: $${\displaystyle m.c.m(a,b)=\frac{a\times b}{m.c.d.(a,b)}}$$