Ecuación general (o cartesiana o implícita) de la recta

Si a partir de la ecuación continua de la recta operamos y agrupamos términos obtenemos: $\begin{array}{rcl} \frac{x - p_{1}}{v_{1}} & = & \frac{y - p_{2}}{v_{2}} \\ v_{2} (x - p_{1}) & = & v_{1} (y - p_{2}) \\ v_{2} \cdot x - v_{2} \cdot p_{1} & = & v_{1} \cdot y - v_{1} \cdot p_{2} \\ v_{2} \cdot x - v_{1} \cdot y + (v_{1} \cdot p_{2} - v_{2} \cdot p_{1}) & = & 0 \\ A x + B y + C & = & 0 \end{array}$

Donde evidentemente, $\begin{array}{rcl} A & = & v_{2} \\ B & = & - v 1 \\ C & = & v_{1} \cdot p_{2} - v_{2} \cdot p_{1} \end{array}$ Una propiedad interesante de esta ecuación es que $\vec{v} = (- B, A)$ es un vector director de la recta, y por tanto $\vec{w} = (A, B)$ es un vector perpendicular a la recta.

Ejemplo

Encontrad la ecuación implícita de la recta $r$ : $\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y - 4}{2}$

Operando y pasando todos los términos a un lado obtenemos: $\begin{array}{rcl} 2 (x - 3) & = & - 5 (y - 4) \\ 2 x - 6 & = & - 5 y + 20 \\ 2 x + 5 y - 6 - 20 & = & 0 \\ 2 x + 5 y - 26 & = & 0 \end{array}$

Por tanto la ecuación implícita es $2 x + 5 y - 26 = 0$ y el vector $\vec{v} = (- 5, 2)$ es un vector director de la recta.