Derivada d'una potència

A continuació mira la taula i intenta deduïr la norma general:

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$x^{2}$	$2 x$
$x^{3}$	$3 x^{2}$
$x^{5}$	$5 x^{4}$
$x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$
$2 x^{2}$	$4 x$
$2 x^{3}$	$6 x^{2}$
$5 x^{6}$	$30 x^{5}$
$x^{n}$	?
$A x^{n}$	?

Solució: $\begin{array}{ll} f (x) = x^{n} & f^{'} (x) = n x^{n - 1} \\ f (x) = A x^{n} & f^{'} (x) = A n x^{n - 1} \end{array}$

Comprova ara que els resultats anteriors siguin els correctes, sabent identificar en cada cas la constant $A$ i el valor de $n$ en cada cas .

S'acaba de trobar la fórmula general per a derivar qualsevol potència. S'afegeix que aquesta fórmula només és aplicable quan $n$ és un nombre racional. Vegeu a continuació alguns exemples que convé tenir en ment. Tingues en compte també el següent:

Exemple

Una funció arrel quadrada o cúbica o qualsevol tipus d'arrel pot reescriure's sempre com una potència, és aplicable llavors la regla de derivació que s'ha presentat.
Quan $n = 0$ la derivada és nul·la, ja que qualsevol nombre elevat a $0$ és $1$ , que és una constant, i per tant la derivada és nul·la.

Resumint, doncs, s'ha deduït la fórmula general per a derivar tres tipus de funcions fonamentals: funció constant, funció lineal i una potència qualsevol. Vegeu un últim recordatori del que hem vist fins ara:

$f (x) = A$	$f^{'} (x) = 0$
$f (x) = A x + b$	$f^{'} (x) = A$
$f (x) = A x^{n}$	$f^{'} (x) = A \cdot n \cdot x^{n - 1}$

i utilitzeu-ho per als següents exemples:

Exemple

a) $\begin{array}{ll} f (x) = 30 x + 5 & f^{'} (x) = 30 \end{array}$

b) $\begin{array}{ll} f (x) = 4 (x + 1) & f^{'} (x) = 4 \end{array}$

c) $\begin{array}{ll} f (x) = 3 (5 x + 2) & f^{'} (x) = 15 \end{array}$

d) $\begin{array}{ll} f (x) = 6 (x^{4} + 5) & f^{'} (x) = 6 \cdot 4 x^{3} = 24 x^{3} \end{array}$

e) $f (x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

f) $f (x) = \sqrt[3]{\sqrt{x^{2}}}$ $f^{'} (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$