Derivada de una potencia

A continuación mira la tabla que sigue e intenta deducir la norma general:

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$x^{2}$	$2 x$
$x^{3}$	$3 x^{2}$
$x^{5}$	$5 x^{4}$
$x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$
$2 x^{2}$	$4 x$
$2 x^{3}$	$6 x^{2}$
$5 x^{6}$	$30 x^{5}$
$x^{n}$	?
$A x^{n}$	?

Solución: $\begin{array}{ll} f (x) = x^{n} & f^{'} (x) = n x^{n - 1} \\ f (x) = A x^{n} & f^{'} (x) = A n x^{n - 1} \end{array}$

Comprueba ahora que los resultados anteriores sean los correctos, sabiendo identificar en cada caso la constante $A$ y el valor de $n$ en cada caso.

Acaba de encontrarse la fórmula general para derivar cualquier potencia. Se añade que esta fórmula sólo es aplicable cuando $n$ es un número racional. Véanse a continuación algunos ejemplos que conviene tener en mente. Ten en cuenta también lo siguiente:

Ejemplo

Una función raíz cuadrada o cúbica o cualquier tipo de raíz puede reescribirse siempre como una potencia, siendo aplicable entonces la regla de derivación que se ha presentado.
Cuando $n = 0$ la derivada es nula, puesto que cualquier número elevado a $0$ es $1$ , que es una constante, y por lo tanto la derivada es nula.

Resumiendo, pues, se ha deducido la fórmula general para derivar tres tipos de funciones fundamentales: función constante, función lineal y una potencia cualquiera. Véase un último recordatorio de lo visto hasta el momento:

$f (x) = A$	$f^{'} (x) = 0$
$f (x) = A x + b$	$f^{'} (x) = A$
$f (x) = A x^{n}$	$f^{'} (x) = A \cdot n \cdot x^{n - 1}$

y utilícese para los siguientes ejemplos:

Ejemplo

a) $\begin{array}{ll} f (x) = 30 x + 5 & f^{'} (x) = 30 \end{array}$

b) $\begin{array}{ll} f (x) = 4 (x + 1) & f^{'} (x) = 4 \end{array}$

c) $\begin{array}{ll} f (x) = 3 (5 x + 2) & f^{'} (x) = 15 \end{array}$

d) $\begin{array}{ll} f (x) = 6 (x^{4} + 5) & f^{'} (x) = 6 \cdot 4 x^{3} = 24 x^{3} \end{array}$

e) $f (x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

f) $f (x) = \sqrt[3]{\sqrt{x^{2}}}$ $f^{'} (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$