Derivada de la división de dos funciones

Ahora introducimos la regla de la división. A partir de la seguiente tabla intenta deduirla:

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$\frac{x - 1}{x}$	$\frac{(1) x - (x - 1) \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$
$\frac{x^{3}}{x - 2}$	$\frac{3 x^{2} (x - 2) - x^{3} \cdot 1}{(x - 2)^{2}}$
$\frac{x}{x + 2}$	$\frac{1 (x + 2) - x \cdot 1}{(x + 2)^{2}}$
$\frac{3 x^{5}}{2 x + 1}$	$\frac{15 x^{5} (2 x + 1) - 3 x^{5} (2)}{(2 x + 1)^{2}}$
$\frac{g (x)}{h (x)}$	?

Si has sido capaz de deducir la regla del cociente comprueba tu resultado con el enunciado que sigue:

La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la dividendo por el divisor menos el dividendo por la derivada del divisor y dividido todo ello entre el divisor al cuadrado. Matemáticamente es sin duda más claro: $f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{g^{'} (x) h (x) - g (x) h^{'} (x)}{h^{2} (x)}$

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

Sea $f (x) = \frac{x^{2} + x}{3 x - 1}$

Identificamos $g (x) = x^{2} + x$ y $h (x) = 3 x - 1$ . Apliquemos pues la regla del cociente, $f^{'} (x) = \frac{(2 x + 1) (3 x - 1) - (x^{2} + x) 3}{(3 x - 1)^{2}}$

Ejemplo

Ahora un ejemplo conocido $f (x) = \frac{x + 2}{x^{5}}$

Ahora $g (x) = x + 2$ y $h (x) = x^{5}$ . Apliquemos pues la regla del cociente, $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot x^{5} - (x + 2) 5 x^{4}}{(x^{5})^{2}}$