Ahora introducimos la regla de la división. A partir de la seguiente tabla intenta deduirla:
| $$f (x)$$ | $$f'(x)$$ |
| $$\dfrac{x-1}{x}$$ | $$\dfrac{(1)x-(x-1)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}$$ |
| $$\dfrac{x^3}{x-2}$$ | $$\dfrac{3x^2(x-2)-x^3\cdot 1}{(x-2)^2}$$ |
| $$\dfrac{x}{x+2}$$ | $$\dfrac{1(x+2)-x \cdot 1}{(x+2)^2}$$ |
| $$\dfrac{3x^5}{2x+1}$$ | $$\dfrac{15x^5(2x+1)-3x^5(2)}{(2x+1)^2}$$ |
| $$\dfrac{g(x)}{h(x)}$$ | ? |
Si has sido capaz de deducir la regla del cociente comprueba tu resultado con el enunciado que sigue:
La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la dividendo por el divisor menos el dividendo por la derivada del divisor y dividido todo ello entre el divisor al cuadrado. Matemáticamente es sin duda más claro: $$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)}$$$
Veamos algunos ejemplos:
Sea $$f(x)=\dfrac{x^2+x}{3x-1}$$
Identificamos $$g (x) =x^2+x$$ y $$h (x) = 3x-1$$. Apliquemos pues la regla del cociente,$$$f'(x)=\frac{(2x+1)(3x-1)-(x^2+x)3}{(3x-1)^2}$$$
Ahora un ejemplo conocido $$f(x)=\dfrac{x+2}{x^5}$$
Ahora $$g(x)=x+2$$ y $$h(x)=x^5$$. Apliquemos pues la regla del cociente,$$$f'(x)=\frac{1\cdot x^5-(x+2)5x^4}{(x^5)^2}$$$