Derivada de la divisió de dues funcions

Ara introduim la regla de la divisió. A partir de la següent taula intenta deduir-la:

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$\frac{x - 1}{x}$	$\frac{(1) x - (x - 1) \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$
$\frac{x^{3}}{x - 2}$	$\frac{3 x^{2} (x - 2) - x^{3} \cdot 1}{(x - 2)^{2}}$
$\frac{x}{x + 2}$	$\frac{1 (x + 2) - x \cdot 1}{(x + 2)^{2}}$
$\frac{3 x^{5}}{2 x + 1}$	$\frac{15 x^{5} (2 x + 1) - 3 x^{5} (2)}{(2 x + 1)^{2}}$
$\frac{g (x)}{h (x)}$	?

Si has estat capaç de deduir la regla del quocient comprova el teu resultat amb l'enunciat que segueix:

La derivada del quocient de dues funcions és la derivada del dividend pel divisor menys el dividend per la derivada del divisor i dividit tot això entre el divisor al quadrat. Matemàticament és sens dubte més clar: $f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{g^{'} (x) h (x) - g (x) h^{'} (x)}{h^{2} (x)}$

Vegem uns exemples:

Exemple

Sigui $f (x) = \frac{x^{2} + x}{3 x - 1}$

Identifiquem $g (x) = x^{2} + x$ i $h (x) = 3 x - 1$ . Apliquem la regla del quocient, $f^{'} (x) = \frac{(2 x + 1) (3 x - 1) - (x^{2} + x) 3}{(3 x - 1)^{2}}$

Exemple

Ara un exemple conegut $f (x) = \frac{x + 2}{x^{5}}$

Ara $g (x) = x + 2$ i $h (x) = x^{5}$ . Apliquem la regla del quocient, $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot x^{5} - (x + 2) 5 x^{4}}{(x^{5})^{2}}$