Derivada del producte de dues funcions

Mira la taula amb atenció i intenta deduir la regla del producte:

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$x^{2} (3 x + 1)$	$2 x (3 x + 1) + x^{2} (3)$
$4 x (x + 3)$	$4 (x + 3) + 4 x (1)$
$\sin x \cdot c o s x$	$\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (- \sin x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$
$(A x + B) (A x + B)$	$A (A x + B) + (A x + B) A = 2 A (A x + B)$
$g (x) \cdot h (x)$	?

L'has deduït? Compara el teu resultat amb la regla del producte enunciada a continuació.

La derivada del producte de dues funcions és la derivada de la primera multiplicada per la segona més la primera multiplicada per la derivada de la segona.

Matemàticament, $f (x) = g (x) h (x) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (x) h (x) + g (x) h^{'} (x)$

Més exemples:

Exemple

$f (x) = 5 x$

Volem derivar l'expressió anterior, per el que busco reconèixer les meves funcions $g (x)$ i $h (x)$ que em permetin utilitzar la regla del producte. En aquest cas $g (x) = 5$ i $h (x) = x$ . Per tant,

$f^{'} (x) = 0 \cdot x + 5 \cdot 1 = 5$

Exemple

Un exemple del que ja coneixem el resultat: $f (x) = x^{2}$

Puc dir que $g (x) = x$ i $h (x) = x$ i utilizar la regla del producte.

Llavors, $f^{'} (x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2 x$ Evidentment el resultat concorda amb el que ja coneixíem.