Derivada del producto de dos funciones

Mira la siguiente tabla con atención e intenta deducir la regla del producto:

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$x^{2} (3 x + 1)$	$2 x (3 x + 1) + x^{2} (3)$
$4 x (x + 3)$	$4 (x + 3) + 4 x (1)$
$\sin x \cdot c o s x$	$\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (- \sin x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$
$(A x + B) (A x + B)$	$A (A x + B) + (A x + B) A = 2 A (A x + B)$
$g (x) \cdot h (x)$	?

¿La has deducido? Compara tu resultado con la regla del producto enunciada a continuación.

La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera multiplicada por la segunda más la primera multiplicada por la derivada de la segunda.

Matemáticamente, $f (x) = g (x) h (x) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (x) h (x) + g (x) h^{'} (x)$

Más ejemplos:

Ejemplo

$f (x) = 5 x$

Queremos derivar la expresión anterior, por lo que busco reconocer mis funciones $g (x)$ y $h (x)$ ue me permitan utilizar la regla del producto. En este caso $g (x) = 5$ y $h (x) = x$ . Por lo tanto,

$f^{'} (x) = 0 \cdot x + 5 \cdot 1 = 5$

Ejemplo

Un ejemplo del que ya conocemos el resultado: $f (x) = x^{2}$

Puedo decir que $g (x) = x$ y $h (x) = x$ y utilizar la regla del producto.

Entonces, $f^{'} (x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2 x$ Evidentemente el resultado concuerda con lo que ya conocíamos.