Equació de la paràbola vertical amb vèrtex genèric

Anem a tractar les paràboles verticals amb el vèrtex en un punt genèric $A (x_{0}, y_{0})$ .

imagen

El focus es troba en $F (x_{0}, y_{0} + \frac{p}{2})$ i la recta directriu té per equació $y = y_{0} - \frac{p}{2}$ .

L'equació de la paràbola és $(x - x_{0})^{2} = 2 p (y - y_{0})$

Exemple

Donada la paràbola $x^{2} - 8 y + 16 = 0$ , trobar el seu focus, el seu vèrtex i l'equació de la seva directriu.

Primer cal expressar l'equació de la paràbola en la forma $(x - x_{0})^{2} = 2 p (y - y_{0})$ .

Per això podem sumar $8 y - 16$ a banda i banda, i treure $8$ com a factor comú: $x^{2} = 8 (y - 2)$

Expressant-ho com $(x - 0)^{2} = 2 \cdot 4 (y - 2)$ ja s'obté tota la informació necessària.

Llavors s'identifica $x_{0} = 0, y_{0} = 2, p = 4$ .

El focus està en $F (x_{0}, y_{0} + \frac{p}{2})$ , és a dir en $F (0, 4)$ .

El vèrtex es troba al $A (x_{0}, y_{0})$ és a dir $A (0, 2)$ .

La recta directriu té com a equació $y = y_{0} - \frac{p}{2}$ , que aplicada als valors de l'exercici és $y = 0$ .