Ecuación de la parábola vertical con vértice genérico

Vamos a tratar las parábolas verticales con vértice en un punto genérico $A (x_{0}, y_{0})$ .

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El foco se encuentra en $F (x_{0}, y_{0} + \frac{p}{2})$ y la recta directriz tiene por ecuación $y = y_{0} - \frac{p}{2}$ .

La ecuación de la parábola es $(x - x_{0})^{2} = 2 p (y - y_{0})$

Ejemplo

Dada la parábola $x^{2} - 8 y + 16 = 0$ , hallar su foco, su vértice y la ecuación de su directriz.

Primero hay que expresar la ecuación de la parábola en la forma $(x - x_{0})^{2} = 2 p (y - y_{0})$ .

Para ello sumar $8 y - 16$ a ambos lados, y sacar $8$ como factor común: $x^{2} = 8 (y - 2)$

Expresándolo como $(x - 0)^{2} = 2 \cdot 4 (y - 2)$ ya se obtiene toda la información necesaria.

Entonces se identifica $x_{0} = 0, y_{0} = 2, p = 4$ .

El foco está en $F (x_{0}, y_{0} + \frac{p}{2})$ , es decir en $F (0, 4)$ .

El vértice está en $A (x_{0}, y_{0})$ es decir $A (0, 2)$ .

La recta directriz tiene por ecuación $y = y_{0} - \frac{p}{2}$ , que aplicada a los valores del ejercicio resulta $y = 0$ .