Funcions injectives, exhaustives i bijectives

A la gràfica d'una funció podem observar determinades característiques de les funcions que ens aporten informació sobre el seu comportament.

Observeu les gràfiques de les funcions $f(x)=x^2$ i $g(x)=2x$

Per a la funció $f$, observem que podem traçar almenys una recta horitzontal ($y$ = constant) que la talla en més d'un punt.

Per exemple, si considerem la recta horitzontal $y=4$, veiem que hi ha dos elements diferents del domini de $f$, $x=2$, i $x=-2$, que tenen la mateixa imatge $f(x)=4$.

En canvi, qualsevol recta horitzontal traçada sobre la gràfica de la funció g curta com a màxim un punt d'aquesta funció. Per tant, no hi ha dos elements diferents del domini que tinguin la mateixa imatge.

Una funció $f$ és injectiva si dos elements diferents qualssevol del seu domini tenen imatges diferents per $f$, és a dir, si es compleix: $$x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)$$

Per tant observem que la funció $g$ és injectiva mentre que $f$ no ho és.

Si considerem una altra vegada les funcions $f$ i $g$, observem que:

El recorregut de la funció $f$ són els nombres reals més grans o iguals que zero, és a dir, $Im(f)=[0,+\mathrm{\infty })$.

En canvi, el recorregut de la funció $g$ són tots els nombres reals, és a dir, $Im(g)=\mathbb{R}$.

Una funció $f$ és exhaustiva si el seu recorregut coincideix amb el conjunt dels nombres reals, és a dir, si es compleix: $$Im(f)=\mathbb{R}$$

Tenim per tant que la funció $f$ no és exhaustiva i en canvi la funció $g$ sí que ho és.

Finalment:

Una funció és bijectiva si és injectiva i exhaustiva alhora.

Així la funció $g$ de l'exemple és bijectiva mentre que la funció $f$ no ho és.