Funciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas

En la gráfica de una función podemos observar determinadas características de las funciones que nos aportan información sobre su comportamiento.

Observad las gráficas de las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=2x$

Para la función $f$, observamos que podemos trazar al menos una recta horizontal ( $y$ = constante ) que la corte en más de un punto.

Por ejemplo, si consideramos la recta horizontal $y=4$, vemos que hay dos elementos diferentes del dominio de $f$, $x=2$, y $x=-2$, que tienen la misma imagen $f(x)=4$.

En cambio, cualquier recta horizontal trazada sobre la gráfica de la función $g$ corta como máximo un punto de dicha función. Por tanto, no hay dos elementos distintos del dominio que tengan la misma imagen.

Una función $f$ es inyectiva si dos elementos distintos cualesquiera de su dominio tienen imágenes distintas por $f$, es decir, si se cumple: $$x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)$$

Por tanto observamos que la función $g$ es inyectiva mientras que $f$ no lo es.

Si consideramos otra vez las funciones $f$ y $g$, observamos que:

El recorrido de la función $f$ son los números reales mayores o iguales que cero, es decir, $Im(f)=[0,+\mathrm{\infty })$.

En cambio, el recorrido de la función $g$ son todos los números reales, es decir, $Im(g)=\mathbb{R}$.

Una función $f$ es exhaustiva si su recorrido coincide con el conjunto de los números reales, es decir, si se cumple: $$Im(f)=\mathbb{R}$$

Tenemos por tanto que la función $f$ no es exhaustiva y en cambio la función $g$ si que lo es.

Por último:

Una función es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva a la vez.

Así la función $g$ del ejemplo es biyectiva mientras que la función $f$ no lo es.