Monotonía: crecimiento y decrecimiento

Observa la siguiente función:

Observamos que en el intervalo $(-\mathrm{\infty },0)$, al aumentar el valor de $x$ también aumenta el valor de $f(x)$. Decimos entonces que la función es estrictamente creciente en el intervalo $(-\mathrm{\infty },0)$.

Una función $f$ es estrictamente creciente en un intervalo de su dominio si dados $x_1$ y $x_2$, pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que: $$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$$

Por otro lado, en el intervalo $(0,+\mathrm{\infty })$, de la gráfica anterior, vemos que a medida que aumenta el valor de $x$ disminuye el de $f(x)$. En este caso decimos que la función es estrictamente decreciente.

Una función $f$ es estrictamente decreciente en un intervalo de su dominio si dados $x_1$ y $x_2$, pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que: $$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$$

Si una función es únicamente creciente o decreciente en un intervalo de su dominio decimos que la función es monótona en dicho intervalo.

Aunque hemos definido funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes en un intervalo, también se puede definir funciones crecientes o decrecientes:

Una función $f$ es creciente en un intervalo de su dominio si dados $x_1$ y $x_2$, pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que: $$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$$

Una función $f$ es decreciente en un intervalo de su dominio si dados $x_1$ y $x_2$, pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que: $$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$$

Observamos pues que la diferencia está en admitir $f(x_1)=f(x_2)$.